EXPONENCIALES COMPLEJAS

EXPONENCIALES COMPLEJAS

 Se trata de señales fundamentales en el estudio de los sistemas lineales debido a sus características de autofunción: "La respuesta de un sistema lineal a una determinada exponencial compleja es esa misma exponencial multiplicada por una constante (en general compleja)".

La propiedad anterior puede ser muy útil si se utiliza adecuadamente. Si se descompusiese cualquier señal como combinación lineal de exponenciales complejas, la respuesta de un sistema lineal a dicha entrada sería una combinación lineal de las mismas exponenciales complejas, pero con distintos coeficientes. Por ello, para caracterizar un sistema lineal bastará con caracterizar su respuesta a las exponenciales complejas. Si se restringe el análisis al caso de sinusoides complejas, la caracterización de la respuesta de los sistemas a sinusoides complejas constituye el objetivo del análisis de Fourier (transformadas y series de Fourier) o análisis en frecuencia. Gran parte de esta práctica va destinada a fijar conceptos del análisis de señales en el dominio de la frecuencia.

* Exponenciales complejas continuas: son señales del tipo x(t)=Ceat donde C y a son, en general, números complejos. Dependiendo de cómo sean los valores de a y C tenemos los siguientes tipos de señales:

1) C y a reales: exponenciales reales (función atenuada)

2) a imaginario puro: sinusoide compleja. Si a=jω0, estas señales son periódicas de periodo T0=(2π)/ω0.

Se llaman sinusoides armónicamente relacionadas de periodo fundamental T0 a la familia de sinusoides relacionada por la expresión:

φk (t) = ejkω 0t ; k = 0, ± 1, ± 2, ...

Como se verá en el siguiente apartado, dichas funciones se emplean como base para desarrollar en serie señales continuas periódicas (series de Fourier).

3) C y a complejos: exponencial compleja, que se compone de una sinusoide compleja multiplicada por una exponencial real:

x(t) = ρ ⋅ eαt ⋅ ej (ω 0t + φ)

* Exponenciales complejas discretas: son secuencias del tipo x[t]=Ceβn donde C y β son, en general, números complejos. Dependiendo de cómo sean los valores de β y C tenemos los siguientes tipos de secuencias:

1) C y β reales: exponenciales reales (función atenuada)

2) β imaginario puro: sinusoide compleja. Estas señales tienen dos particularidades que debemos recordar (β=jΩ0):

* La sinusoide es periódica en Ω0, de periodo 2π (basta con analizar Ω0

en el intervalo [0,2π)). La principal consecuencia de esta propiedad es que una sinusoide continua muestreada no puede ser recuperada a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo es inferior al doble de su frecuencia.

Este fenómeno debe tenerse perfectamente claro, por lo que debe reflexionarse sobre esta propiedad. Algunos ejercicios de la práctica ayudarán a relacionar esta propiedad con el teorema de muestreo.

* Las secuencias sinusoidales sólamente son periódicas cuando se

cumple Ω0/(2π)=m/N, donde N es el periodo y m un número entero (frecuencia racional). En el resto de los casos no existe periodicidad, como ocurría en el caso continuo.

Se llaman sinusoides armónicamente relacionadas de periodo fundamental N a la familia de sinusoides relacionada por la expresión:

φ [ ] π

k

n = e jk2 n/N ; k = 0, 1, ..., N -1

Estas secuencias constituyen una base en la que es posible desarrollar en serie secuencias periódicas: series de Fourier de secuencias.

3) C y β complejos: exponencial compleja, que se compone de una sinusoide compleja multiplicada por una exponencial real:

x[n] = ρ ⋅eαn ⋅ ej(Ω0 n+ φ)

Durante el desarrollo de la práctica tendrá oportunidad de visualizar diversas señales de este tipo, tanto continuas como discretas, así como composiciones de las mismas.

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