EXPONENCIALES
COMPLEJAS
Se trata de señales fundamentales en el
estudio de los sistemas lineales debido a sus características de autofunción:
"La respuesta de un sistema lineal a una determinada exponencial compleja
es esa misma exponencial multiplicada por una constante (en general
compleja)".
La propiedad anterior
puede ser muy útil si se utiliza adecuadamente. Si se descompusiese cualquier
señal como combinación lineal de exponenciales complejas, la respuesta de un
sistema lineal a dicha entrada sería una combinación lineal de las mismas
exponenciales complejas, pero con distintos coeficientes. Por ello, para
caracterizar un sistema lineal bastará con caracterizar su respuesta a las
exponenciales complejas. Si se restringe el análisis al caso de sinusoides
complejas, la caracterización de la respuesta de los sistemas a sinusoides
complejas constituye el objetivo del análisis de Fourier (transformadas y
series de Fourier) o análisis en frecuencia. Gran parte de esta práctica va
destinada a fijar conceptos del análisis de señales en el dominio de la
frecuencia.
* Exponenciales complejas continuas: son señales del tipo
x(t)=Ceat
donde
C y a son, en general, números complejos. Dependiendo de cómo
sean los valores de a y C tenemos los siguientes tipos de
señales:
1) C y a reales:
exponenciales reales (función atenuada)
2) a imaginario
puro: sinusoide compleja. Si a=jω0, estas señales son periódicas de periodo T0=(2π)/ω0.
Se llaman sinusoides
armónicamente relacionadas de periodo fundamental T0 a la familia de
sinusoides relacionada por la expresión:
φk (t) =
ejkω 0t ; k = 0, ± 1, ± 2, ...
Como se verá en el
siguiente apartado, dichas funciones se emplean como base para desarrollar en
serie señales continuas periódicas (series de Fourier).
3) C y a complejos:
exponencial compleja, que se compone de una sinusoide compleja multiplicada por
una exponencial real:
x(t) = ρ ⋅ eαt ⋅ ej (ω 0t +
φ)
* Exponenciales complejas discretas: son secuencias del
tipo x[t]=Ceβn donde C y β son, en general, números complejos.
Dependiendo de cómo sean los valores de β y C tenemos los siguientes tipos de
secuencias:
1) C y β reales: exponenciales reales (función
atenuada)
2) β imaginario puro: sinusoide compleja. Estas
señales tienen dos particularidades que debemos recordar (β=jΩ0):
* La sinusoide es
periódica en Ω0, de periodo 2π (basta con analizar Ω0
en el intervalo [0,2π)). La principal consecuencia de esta
propiedad es que una sinusoide continua muestreada no puede ser recuperada a
partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo es inferior al doble de su
frecuencia.
Este fenómeno debe
tenerse perfectamente claro, por lo que debe reflexionarse sobre esta
propiedad. Algunos ejercicios de la práctica ayudarán a relacionar esta
propiedad con el teorema de muestreo.
* Las secuencias
sinusoidales sólamente son periódicas cuando se
cumple Ω0/(2π)=m/N, donde N es el periodo y m un
número entero (frecuencia racional). En el resto de los casos no existe
periodicidad, como ocurría en el caso continuo.
Se llaman sinusoides
armónicamente relacionadas de periodo fundamental N a la familia de sinusoides
relacionada por la expresión:
φ [
] π
k
n = e jk2 n/N ; k = 0, 1, ..., N -1
Estas secuencias
constituyen una base en la que es posible desarrollar en serie secuencias
periódicas: series de Fourier de secuencias.
3) C y β complejos: exponencial compleja, que se
compone de una sinusoide compleja multiplicada por una exponencial real:
x[n] = ρ ⋅eαn ⋅ ej(Ω0 n+ φ)
Durante el desarrollo
de la práctica tendrá oportunidad de visualizar diversas señales de este tipo,
tanto continuas como discretas, así como composiciones de las mismas.
